倘若贵方在提交保险索赔申请后，遭遇保险公司的拒绝对待或支付时间上的拖沓等问题，可依次采取如下措施以保护自身利益：
首先，务必审慎对待保险合同中的各项条款及解释，对自身权益以及应尽义务有清楚的了解，随后主动与保险公司展开积极协商，同时应准备充分的证据资料以支撑申请人享有赔偿的合理诉求。
其次，若协商过程中未能达成共识，贵方可向保险公司的客户服务中心或者相关职能部门提出投诉，要求对方给出明确的处理意见，并妥善保存所有投诉相关的证据文件。
再次，若投诉仍未得到满意解决，贵方可向保险行业监管机构进行投诉或申诉，请求他们进行调解或做出公正裁决。保险行业监管机构主要包括中国保险监督管理委员会及其分支机构、保险行业协会以及保险公估机构等。
最后，若上述措施均无法奏效，贵方可选择向当地人民法院提起诉讼，通过法律手段来捍卫自身的合法权益。

《保险法》第十七条：保险人收到投保人或者被保险人的理赔通知书和与之有关的证明文件后，应当及时核实，对属于保险责任范围内的赔偿事项在规定期限内给付保险金。