针对保险公司拒绝赔付的情况，投保客户有权在发起法院诉讼程序时，向保险公司索求支付利息。
然而，这种诉求是否能够得到满足，取决于案件审理过程中法官的最终裁决。通常来说，只有当保险公司应当承担赔付责任，或者投保方并未存在严重的投保过失行为，而保险公司却拒绝赔付、仅赔偿部分金额或者拖延赔付的情况下，投保人才有必要寻求律师的帮助，进行起诉并提出利息索赔。
此外，如果保险公司拒绝赔付是基于合理的理由，即被保险人所遭遇的风险事件并不符合保险合同中的理赔条件，那么保险公司将无需支付任何利息，甚至可能连已经收取的保费都无法退还。

《保险法》第五十七条规定：投保人对保险公司理赔决定不服的，可以依据保险合同约定或者与保险公司协商解决；协商不成的，可以申请仲裁或者向人民法院提起诉讼。