在司法鉴定过程中，产生的相关费用在某些情况下可由保险公司负责承担。
然而，对于首次鉴定后的进一步支出，保险公司并无义务予以继续承担。依照我国《保险法》的明确规定，保险人以及被保险人为调查及确定保险事故的性质、原因及其对保险标的损害程度所必需且合理支付的费用，均由保险人负担。

《中华人民共和国保险法》第六十四条
保险人、被保险人为查明和确定保险事故的性质、原因和保险标的的损失程度所支付的必要的、合理的费用，由保险人承担。
第六十五条
保险人对责任保险的被保险人给第三者造成的损害，可以依照法律的规定或者合同的约定，直接向该第三者赔偿保险金。
责任保险的被保险人给第三者造成损害，被保险人对第三者应负的赔偿责任确定的，根据被保险人的请求，保险人应当直接向该第三者赔偿保险金。被保险人怠于请求的，第三者有权就其应获赔偿部分直接向保险人请求赔偿保险金。