在遭受交通意外事故并遭遇保险公司拒绝赔偿之时，对其发起法律诉讼流程可以分为以下步骤进行操作和执行：
（1）集中搜集所有与交通事故相关的证据资料，这些资料或许涵盖交通事故责任判定书、投保凭证以及相关当事人的身份证件等等；
（2）撰写详细的起诉状。这份起诉状应该具体列明原告和被告双方的详细信息，以及诉讼过程中所主张的各项权利及其依据的事实与法律缘由；
（3）将上述诉讼所需材料送交至具有审判权限的法院机构，以此启动民事诉讼程序。法院受理立案之后，按照规定缴纳相应的诉讼费用，然后耐心等待法院安排开庭审理此案。

《民事诉讼法》第一百二十三条
起诉应当向人民法院递交起诉状，并按照被告人数提出副本。
书写起诉状确有困难的，可以口头起诉，由人民法院记入笔录，并告知对方当事人。
《民事诉讼法》第十八条
基层人民法院管辖第一审民事案件，但本法另有规定的除外。
《民事诉讼法》第十九条
中级人民法院管辖下列第一审民事案件：
（一）重大涉外案件；
（二）在本辖区有重大影响的案件；
（三）最高人民法院确定由中级人民法院管辖的案件。