在交通事故的民事诉讼程序中，通常情况下保险公司并不承担相应的诉讼费用。
然而，若经过法庭的彻底审理后，判定确实需要由保险公司承担诉讼费用，那么该公司便需承担相关费用。
根据我国现行《保险法》的明确规定，当责任保险的被保险人为第三方造成损害的保险事故而被提起仲裁或诉讼时，被保险人所支付的仲裁费用、诉讼费用及其他必要且合理的费用，除非在保险合同中有特别约定，否则均应由保险人承担。在发生交通事故的情况下，如果保险公司在其赔偿范围内进行理赔处理，那么受害方就有权启动民事诉讼程序。

《中华人民共和国保险法》第六十六条
责任保险的被保险人因给第三者造成损害的保险事故而被提起仲裁或者诉讼的，被保险人支付的仲裁或者诉讼费用以及其他必要的、合理的费用，除合同另有约定外，由保险人承担。