当肇事逃逸案件被成功追查到肇事方时，针对这类案件的处理方式应依据具体的事故情况以及所带来的不良影响而定夺。
通常情况下，若该行为尚未构成犯罪，那么在遵守相关法律法规的前提下，公安机关交通管理部门可以予以逃逸者200元至2000元不等的罚款处罚，并且还可处以15天以内的拘留。
此外，逃逸者的机动车驾驶证也会被吊销，且终身不得再次获得机动车驾驶证。
然而，若该行为已经构成了犯罪，那么逃逸者将会面临法律的严厉制裁，依法追究其刑事责任。
根据我国《中华人民共和国刑法》的相关规定：对于那些违反交通运输管理法规，从而导致重大事故发生，致使他人重伤、死亡或使公共财产遭受重大损失的肇事者，将处以三年以下有期徒刑或拘役的惩罚；
而对于那些在交通运输肇事后逃逸或者具有其他特别恶劣情节的肇事者，则将处以三年以上七年以下有期徒刑的惩罚；
至于那些因为逃逸行为而导致他人死亡的肇事者，他们将面临七年以上有期徒刑的严重刑罚。

《中华人民共和国道路交通安全法》第九十九条
有下列行为之一的，由公安机关交通管理部门处二百元以上二千元以下罚款：
（一）未取得机动车驾驶证、机动车驾驶证被吊销或者机动车驾驶证被暂扣期间驾驶机动车的；
（二）将机动车交由未取得机动车驾驶证或者机动车驾驶证被吊销、暂扣的人驾驶的；
（三）造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的；
（四）机动车行驶超过规定时速百分之五十的；
（五）强迫机动车驾驶人违反道路交通安全法律、法规和机动车安全驾驶要求驾驶机动车，造成交通事故，尚不构成犯罪的；
（六）违反交通管制的规定强行通行，不听劝阻的；
（七）故意损毁、移动、涂改交通设施，造成危害后果，尚不构成犯罪的；
（八）非法拦截、扣留机动车辆，不听劝阻，造成交通严重阻塞或者较大财产损失的。
行为人有前款第二项、第四项情形之一的，可以并处吊销机动车驾驶证；有第一项、第三项、第五项至第八项情形之一的，可以并处十五日以下拘留。