在这种情况下，由于酒精影响而导致的驾车肇事逃逸，对受害者造成轻微伤害的惩罚是相当严厉的。
首先，我们需要明确的是，酒后驾车本身就属于违法行为，根据我国《道路交通安全法》的相关规定，对于饮酒后驾驶机动车辆的驾驶员，将被处以暂扣六个月机动车驾驶证的处罚，同时还要处以一千元至二千元不等的罚款。
如果驾驶员因为之前的酒后驾车行为已经受到了相应的处罚，那么他在再次饮酒后驾驶机动车时，将会受到更为严格的处罚，包括十天以内的拘留以及一千元至二千元不等的罚款，同时还会被吊销机动车驾驶证。
此外，肇事逃逸的行为无疑进一步加剧了其违法程度。
根据相关法律法规，如果驾驶员在发生交通事故后选择逃逸，但尚未达到犯罪程度，那么他们将面临由公安机关交通管理部门处以二百元至二千元不等的罚款，并且有可能被处以十五天以下的拘留。
总的来说，对于那些因为酒后驾车而引发交通事故、逃逸并对他人造成轻微伤害的驾驶员，他们不仅要承担罚款的责任，还有可能被吊销驾驶证，甚至被处以拘留。
至于具体的罚款金额，则会根据案件的实际情况和当地的执法标准进行确定。

《中华人民共和国道路交通安全法》第九十一条
饮酒后驾驶机动车的，处暂扣六个月机动车驾驶证，并处一千元以上二千元以下罚款。因饮酒后驾驶机动车被处罚，再次饮酒后驾驶机动车的，处十日以下拘留，并处一千元以上二千元以下罚款，吊销机动车驾驶证。
醉酒驾驶机动车的，由公安机关交通管理部门约束至酒醒，吊销机动车驾驶证，依法追究刑事责任；五年内不得重新取得机动车驾驶证。
饮酒后驾驶营运机动车的，处十五日拘留，并处五千元罚款，吊销机动车驾驶证，五年内不得重新取得机动车驾驶证。
醉酒驾驶营运机动车的，由公安机关交通管理部门约束至酒醒，吊销机动车驾驶证，依法追究刑事责任；十年内不得重新取得机动车驾驶证，重新取得机动车驾驶证后，不得驾驶营运机动车。
饮酒后或者醉酒驾驶机动车发生重大交通事故，构成犯罪的，依法追究刑事责任，并由公安机关交通管理部门吊销机动车驾驶证，终生不得重新取得机动车驾驶证。