在普遍情况下，当总公司担负起分公司的债务之后，能否享有追索权需要依据具体的情况来加以剖析和评估。
假设分公司在其经营活动中所展现出来的是蓄意或者严重疏忽的行为，导致了债务的产生，那么在总公司接手并担负了这些债务之后，他们是有权利对那些在这场活动中产生了直接或者间接作用的分公司领导人及相关责任人进行追索的。
然而，如果这些债务是在正常的商业运营过程中自然而然地产生的，并且分公司在此过程中并无任何不当之处，那么通常情况下，总公司将难以为此行使追索权。

《中华人民共和国民法典》第七十四条
法人可以依法设立分支机构。法律、行政法规规定分支机构应当登记的，依照其规定。
分支机构以自己的名义从事民事活动，产生的民事责任由法人承担；也可以先以该分支机构管理的财产承担，不足以承担的，由法人承担。