当离婚后一方未能按照协议或法律规定支付孩子的抚养费用时，申请强制执行的具体过程通常如下所示：
首先，您需向有管辖权的法院递交强有力且明确的强制执行申请书，此份申请书中需详细列举申请执行人和被执行人的基本信息、需要被执行的项目及其具体事宜以及发起此次执行申请的详细原因与依据等等。
接着，您应当尽可能地提供与之具有密切关联性的证据，例如离婚判决书或协议书等，以证实另一方向您未能按时支付孩子的抚养费用。
提交申请书之后，法院将会对被执行人的经济状况展开深入细致的调查核实工作，例如便可能涉及到对其储蓄账户余额、房地产所有权以及汽车登记记录等方面的查询。
一旦法院确定被执行人确实存在具有可执行性的资产，便会依法采取相应的强制执行措施，这包括冻结被执行人的银行账户资金、扣押财产甚至是公开拍卖其所有的房地产及汽车等。

《中华人民共和国民事诉讼法》第二百四十七条
发生法律效力的民事判决、裁定，当事人必须履行。一方拒绝履行的，对方当事人可以向人民法院申请执行，也可以由审判员移送执行员执行。
调解书和其他应当由人民法院执行的法律文书，当事人必须履行。一方拒绝履行的，对方当事人可以向人民法院申请执行。