关于抚养权能否被舍弃这个问题，答案是否定的。
抚养权不仅是一种法定的权益，同时更是一种无法推卸的责任和义务。
受抚养权作为未成年人最起码的法定权利之一，是每一位父母应尽的法律责任与义务，无论是在何种情况下，这种责任都不会因为离婚或者财产分割而消失或减轻。
通过放弃财产来逃避对子女的抚养教育，实际上已经严重侵犯了未成年人的受抚养权。
当一方不幸离世时，若想要争取到孩子的抚养权，当事人可按照以下步骤进行操作：
首先，需准备好本人的身份证件、户口本、离婚证书、子女的出生证明以及另一方的死亡证明等相关资料；
其次，将上述材料提交至有管辖权的人民法院，并提出变更抚养权的诉讼请求。

《民法典》第一千零七十六条　夫妻双方自愿离婚的，应当签订书面离婚协议，并亲自到婚姻登记机关申请离婚登记。
离婚协议应当载明双方自愿离婚的意思表示和对子女抚养、财产以及债务处理等事项协商一致的意见。
第一千零七十七条　自婚姻登记机关收到离婚登记申请之日起三十日内，任何一方不愿意离婚的，可以向婚姻登记机关撤回离婚登记申请。
前款规定期限届满后三十日内，双方应当亲自到婚姻登记机关申请发给离婚证；未申请的，视为撤回离婚登记申请。
第一千零七十八条　婚姻登记机关查明双方确实是自愿离婚，并已经对子女抚养、财产以及债务处理等事项协商一致的，予以登记，发给离婚证。