在这种情况下，首先应向有管辖权的法院提出强制执行申请，并附上详细的申请书以及关于此事的相关证据，这些证据包括但不仅限于离婚协议或者已经做出的判决文书等能够明显显示出对方并没有如约履行支付抚养费用这一义务的材料。
待法院对此进行核实及审查之后，将会依法向未履行执行通知义务的被执行人正式下发执行通知书，以此提示他们应当履行自己的法定义务。
若被执行人仍然拒绝履行，那么法院将会采取一系列必要的法律手段来维护申请人的合法权益，例如查询、冻结、划拨被执行人的银行存款，查封、扣押、拍卖、变卖被执行人的财产等多种方式。
与此同时，法院也可能会根据实际情况，将被执行人列入失信被执行人名单之中，对其实施严格的消费限制。

《中华人民共和国民事诉讼法》第二百五十三条
被执行人未按执行通知履行法律文书确定的义务，人民法院有权向有关单位查询被执行人的存款、债券、股票、基金份等财产情况。人民法院有权根据不同情形扣押、冻结、划拨、变价被执行人的财产。人民法院查询、扣押、冻结、划拨、变价的财产不得超出被执行人应当履行义务的范围。
人民法院决定扣押、冻结、划拨、变价财产，应当作出裁定，并发出协助执行通知书，有关单位必须办理。