在解除婚姻关系之后，未能支付所需生活费用的一方，将可能面临法律方面的强制执行措施。
在此情况下，未承担相应责任的一方可向一审法院提起诉讼，请求通过一审法院的裁决和命令来敦促对方信守抚养子女的承诺。
若经过多次教育、警示但成果仍不尽如人意，且当事人持续违背法律规定的义务或情节严重者，则可依据法律条文向一审法院提交强制执行申请，坚决维护合法权益。

《民法典》第一千零六十七条
父母不履行抚养义务的，未成年子女或者不能独立生活的成年子女，有要求父母给付抚养费的权利。
成年子女不履行赡养义务的，缺乏劳动能力或者生活困难的父母，有要求成年子女给付赡养费的权利。