当夫妻关系破裂导致父母终止抚养子女时，若其中一方拒绝支付抚养费用的情况，这并不意味着必然涉及到刑事责任及可能的拘留问题，而是需要根据特定事件中的实际情况进行深度剖析和判断。
在抚养义务的执行过程中，由于年长者，未满成年的孩子，患有疾病或其他致使丧失自主生活能力的人群等，如果身处困境且未能及时履行扶助义务，其行为严重至足以触犯遗弃罪行的话，公安机关有权已对此类案件启动立案程序。
在此背景下，对于那些有重大犯罪嫌疑的人员，可依法实施提前拘留措施。

《刑法》第二百六十一条
对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。