根据法律规定，未婚生育的子女在继承遗产的过程中，须承担被继承人所欠下的债务。
其原因在于，继承的权利与义务是不可分割、紧密相连的。
未婚生育的子女与结婚生育的子女享有相同的法定继承权，因此他们也需承担起相应的法定义务。
只要这些债务是符合法律规范且未超过继承财产价值的额度，那么未婚生育的子女便承担着偿还这些债务的责任。

《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条
继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。
继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负清偿责任。