当夫妻关系中的一方不幸离世时，其生前所遗留的银行存款，倘若能够提供确凿的证据来证实这部分资金乃属个人财产，则依照法律规定，可将此部分资产视为合法遗产进行有序传承。
然而，若该笔银行存款被认定为是夫妻双方的共有财产，那么其中的一半份额应归属于尚在人世的配偶所有，而剩余的另一半则可依法作为遗产进行分配和继承。
在存在遗嘱的情况下，应严格遵循遗嘱的相关规定对该笔银行存款进行处置；
如若未曾订立遗嘱，则需依据法定继承原则对此类存款进行妥善处理。
在法定继承过程中，遗产的分配顺序如下：
首先，第一顺位继承人包括配偶、子女以及父母；
其次，第二顺位继承人包括兄弟姐妹、祖父母及外祖父母。
当继承程序启动之后，应先由第一顺位继承人进行继承，第二顺位继承人则无权参与；若第一顺位继承人全部缺失或无法继承，方可由第二顺位继承人接手。

《民法典》第一千一百二十三条
继承开始后，按照法定继承办理；有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理；有遗赠扶养协议的，按照协议办理。
第一千一百五十三条
夫妻共同所有的财产，除有约定的外，遗产分割时，应当先将共同所有的财产的一半分出为配偶所有，其余的为被继承人的遗产。