根据我国相关法律规定，提起诉讼申请解除婚姻关系的具体执行步骤包括如下环节：
首先，作为原告方需要依照法律规定向具有相应管辖权限的人民法院提交书面起诉状。
其次，经审查确认满足法定起诉要件的情况下，人民法院将对案件予以正式立案受理。接下来，法院将会告知各方当事人具体的开庭审判时间安排。在开庭审理过程中，会就案件内容展开深入讨论并进行民事调解工作。若经过充分讨论与协调之后，双方未能达成离婚协议，则由人民法院依法作出是否准予离婚的终局性判决。

《民法典》第一千零七十九条
夫妻一方要求离婚的，可以由有关组织进行调解或者直接向人民法院提起离婚诉讼。人民法院审理离婚案件，应当进行调解；如果感情确已破裂，调解无效的，应当准予离婚。有下列情形之一，调解无效的，应当准予离婚：
（一）重婚或者与他人同居；
（二）实施家庭暴力或者虐待、遗弃家庭成员；
（三）有赌博、吸毒等恶习屡教不改；
（四）因感情不和分居满二年；
（五）其他导致夫妻感情破裂的情形。
一方被宣告失踪，另一方提起离婚诉讼的，应当准予离婚。经人民法院判决不准离婚后，双方又分居满一年，一方再次提起离婚诉讼的，应当准予离婚。