关于银行把债务卖给第三方后是否会起诉的问题，我们来做一个详细分析：
一、银行一般不会起诉的原因
银行将债务转让给第三方后，从法律层面来看，债权主体就发生了变更，新的债权人变成了第三方。
这就好比一件物品的所有权已经转移，原主人不再对它拥有处置权。
银行既然不再拥有该债权，按照法律规定和正常逻辑，通常就不会再以自己的名义对债务人提起诉讼。
二、银行可能参与诉讼的特殊情况
不过，在某些特殊情况下，银行还是可能会参与到诉讼当中。
例如在债务转让过程中，可能会出现程序上的瑕疵。
这种时候，银行可能会作为相关方参与到诉讼中。
但要注意，这种诉讼并非是基于原来的债权债务关系去起诉债务人，而是围绕着债务转让过程中产生的争议来进行的。
三、第三方起诉的可能性
第三方作为新的债权人，如果债务人没有按照约定偿还债务，为了维护自身的合法权益，第三方有权依据相关的证据和法律规定，向法院提起诉讼，要求债务人履行还款义务。
毕竟第三方通过合法途径获得了债权，当自身权益受到侵害时，通过法律途径解决是合理合法的。

案情回顾:

小朱向银行借款后逾期未还，银行将该债务卖给第三方小李。之后，小李要求小朱还款，小朱却质疑银行转让债务程序有问题，且认为银行可能还会起诉自己，争议焦点在于银行转让债务后是否会起诉以及转让程序是否合法。

案情分析:

1、银行一般不会起诉。因为银行将债务转让给小李后，债权主体变更为小李，银行不再拥有该债权，按法律规定和逻辑，通常不能以自己名义起诉小朱。
2、若转让过程存在程序瑕疵，如未通知小朱或转让合同签订有纠纷，银行可能作为相关方参与诉讼，但不是基于原债权债务关系起诉小朱。
3、小李作为新债权人，若小朱不还款，小李有权起诉小朱要求其履行还款义务。