当第三人替代债务人履行债务义务之后，其有权依法向债务人提出追偿请求。
具体来说，此类情形下的追偿权实现过程通常需遵循以下几个程序步骤：
首先，当事人应当妥善保存相关的履约凭据，这些凭据可能包括但不仅限于付款凭证、双方签订的合同协议以及与此相关的通信往来文件等，以便准确地证明代替债务人履行债务的确切性质及其应付金额。
紧接着，当事人可尝试与债务人进行友好的商议或交流，要求其归还替代履行所支出的费用资金。
若经过协商仍无法达成共识，则当事人可选择向具有管辖权的人民法院提起诉讼。
在诉讼过程中，当事人必须明确主张追偿权的依据及其金额，同时必须提供充分且确凿的证据来支撑自身的诉求。
最后，法院将依据国家相关法律法规及当事人提交的证据对案件进行审查和裁决。
需要特别指出的是，诉讼时效性问题极为关键不容忽视。
根据我国现行法律规定，诉讼时效期通常规定为三年，因此当事人有责任及时行使追偿权，确保其合法权益不受损害。