当某家机构由于拖欠还款事项而引发诉讼案件时，法院在对该类民事争议展开深入审查与审理过程中，若认为适宜适用调解手段加以处理，则会先行尝试对此案件进行调解工作。
然而，若是相关机构拒绝接受调解方案，那么法律程序将会依照既定流程继续开展。
如在执行环节遭遇单位无力偿付债务难题，倘若单位的全部财产尚不足以为清偿所有债务提供保障，并且未能找到其他直接责任人员，亦或是由于财务困境导致无从偿还债务、无稳定经济收益且丧失劳动能力的话，即该单位为了维持基本生计尚且需要努力挣扎，人民法院可能会依法裁决终结执行该案。
综合上述因素考虑，一旦某家机构因拖欠还款事项而引发诉讼案件，可以通过调解方式来化解纷争；
若调解失败，则需依法进行审理并执行相关法律程序。
若在执行环节遭遇单位无力偿付债务难题，可能会面临终结执行的法律后果。

《中华人民共和国民事诉讼法》第一百二十五条
当事人起诉到人民法院的民事纠纷，适宜调解的，先行调解，但当事人拒绝调解的除外。