在解除婚姻关系之后，着手诉讼中的债务问题时，司法机关将会依照如下方式予以处理:
首先，若起诉的涉诉债务乃为婚姻双方共同负担之债务，那么司法机关将在查证核实相关情况之后，依法裁决婚姻双方共同承担此项债务。
同时，相应的债务人有义务履行还债的职责，任何一方未能及时还款的，债权人皆有权向司法机关递交申请，要求对方采取强制措施以崩解其应当承担之债务。
其次，如果起诉的涉诉债务系属于其中一方当事人之个人债务，那么依据事实查证的情况，司法机关将判定由该名当事人独自承担这部分债务。
在此种情况下，另一方作为原配偶，并不需要承担还债义务或负责清偿债权的责任。

《民法典》第一千零六十四条
夫妻双方共同签名或者夫妻一方事后追认等共同意思表示所负的债务，以及夫妻一方在婚姻关系存续期间以个人名义为家庭日常生活需要所负的债务，属于夫妻共同债务。夫妻一方在婚姻关系存续期间以个人名义超出家庭日常生活需要所负的债务，不属于夫妻共同债务；但是，债权人能够证明该债务用于夫妻共同生活、共同生产经营或者基于夫妻双方共同意思表示的除外。