关于轻微伤害案件的医疗费用赔偿问题的申诉，其具体程序可归纳为以下步骤：
首先，你需要搜集整理所有与该事件相关的证据材料，其中必须涵盖医疗费用的支付凭证、病历报告以及具有法律效应的诊断证明等关键文件，以此来证实你因这一事件遭受了实际经济损失。
其次，根据你所掌握的信息，编制一份结构严谨且内容详实的诉讼书，包括明确阐述案件的原告和被告双方的个人身份信息、明确提出的诉讼请求（例如医疗费用金额的赔偿要求等）以及详细描述案发时的情况，以及由此引发的轻微伤害后果等。
紧接着，根据法律法规的规定，选择并前往拥有审理此项诉讼权力的当地人民法院进行立案。
通常来说，法院对于侵权行为所在地或被告居住地的此类案件具有专属管辖权。
在诉讼的过程中，您可能要经历法庭审判、对证据进行质证等环节。
在这种情况下，你需要严格遵守法院的规定，出席每一次庭审，并按照要求提供真实可靠的事实陈述以及能够支持你申诉观点的证据材料。
最终，如果你赢得这场官司，那么被告就应当承担返还医疗费用以及其他合理损失的责任。
然而，我们也不能忽视的是，整个诉讼过程可能会消耗相当多的时间和精力。