关于一方再婚时抚养费的支付问题，有一些重要要点值得关注：
一、支付标准
抚养费数额的确定需要综合多方面因素。
首先是子女的实际需要，比如孩子的生活开销、教育费用、医疗费用等。
其次要考虑父母双方的负担能力，这涉及到双方的收入状况、财产状况等。
同时，当地的实际生活水平也是重要参考，不同地区的生活成本差异较大。
若父母有固定收入，一般按照月总收入的20%-30%比例给付抚养费。
二、支付方式
抚养费的支付方式较为灵活。
可以定期给付，按月支付能保证孩子生活费用的稳定供应；按季或按年支付适合一些有特殊情况的家庭。
而对于有条件的家庭，也可以一次性给付，比如一方有足够的财产或资金，一次性支付能避免后续的麻烦。
三、特殊情况
一方再婚并不影响其对子女的抚养义务。
当出现一些特殊情况时，如子女患病需要高额医疗费用、上学的学费增加等，导致原定抚养费数额不足以维持当地实际生活水平，子女有权要求有负担能力的父或母增加抚养费。

案情回顾:

小朱和小李离婚后，小朱再婚。孩子随小李生活，小朱按之前约定支付抚养费。后孩子患病需高额医疗费用，小李要求小朱增加抚养费，小朱以自己再婚有新家庭开支为由拒绝，双方产生争议。

案情分析:

1、关于支付标准，小朱虽再婚，但确定抚养费要综合考虑孩子实际需要、双方负担能力及当地生活水平。孩子患病费用增加，原抚养费难以满足需求，小朱应适当增加。
2、支付方式上，若小朱有条件一次性给付部分增加的抚养费，可减轻后续支付麻烦；若没条件，也应定期给付以保障孩子治疗费用。
3、特殊情况下，小朱再婚不能成为拒绝增加抚养费的理由，若其有负担能力，应满足孩子合理的费用增加需求。