当出现一方不支付抚养费的情况时，可通过以下途径来妥善解决：
一、协商解决
首先，可以尝试与对方进行沟通协商。
在沟通时，要清晰、明确地向对方阐述支付抚养费是其作为父母应尽的法定义务。
因为孩子的成长需要经济上的支持，抚养费是保障孩子基本生活、教育、医疗等需求的重要资金来源。
双方可以心平气和地商讨，结合彼此的实际情况，协商出一个双方都能接受的支付方式和时间。
二、申请强制执行
若经过多次沟通协商都没有结果，抚养孩子的一方可以以孩子的名义向法院提起诉讼，要求对方支付抚养费。
法院会根据相关法律和实际情况作出公正的判决。
一旦法院作出判决，如果对方仍然顽固地拒不支付，那么就可以向法院申请强制执行。
法院拥有多种有效的强制执行措施，像查询对方在各个银行的存款情况，一旦发现有足够的资金，就可以依法冻结、划拨其存款；还可以对其名下的房产、车辆等财产进行查封、扣押，必要时进行拍卖，以获取抚养费。
三、追究刑事责任
要是对方明明有能力执行法院的判决，却故意拒不执行，而且情节严重，这种行为可能构成拒不执行判决、裁定罪。
在这种情况下，相关部门会依法追究其刑事责任，让其为自己的错误行为承担法律后果。

案情回顾:

小朱与小李离婚后，小李长期不支付孩子抚养费。小朱多次与小李协商支付方式和时间均无果，小朱以孩子名义起诉，法院判决小李支付抚养费，但小李仍拒不支付，且其有能力支付却故意不执行，引发法律争议。

案情分析:

1、小朱起初尝试与小李协商解决，明确告知其支付抚养费是法定义务，这是合理合法的解决途径，旨在保障孩子基本生活等需求。
2、在协商无果后，小朱通过诉讼途径解决，法院作出判决后，小李拒不支付，小朱可申请强制执行，法院有权采取多种措施确保抚养费的执行。
3、若小李有能力执行却故意不执行且情节严重，构成拒不执行判决、裁定罪，相关部门应依法追究其刑事责任。