关于放弃抚养权这件事，需要明确以下几个要点：
一、前提条件
放弃抚养权一般是在特定情形下才会出现。
这时，其中一方可能会基于各种原因，选择放弃直接抚养孩子的权利，而由另一方来抚养孩子。
在这种情况下，双方经过充分沟通和协商，达成一致意见后，一方就可以放弃直接抚养权。
二、责任承担
需要强调的是，放弃抚养权并不等同于放弃抚养义务。
即使一方不直接抚养孩子，也依然要承担支付抚养费的责任。
抚养费的数额并非随意确定，而是要综合多方面因素。
三、变更可能
放弃抚养权后，在某些法定情形下，抚养权是有可能变更的。
在这些情况下，另一方可以通过合法的法律途径，向法院申请变更抚养权，以保障孩子的合法权益。
总之，放弃抚养权是一种法律上的选择，但相关抚养义务依然存在，必须严格依法履行。

案情回顾:

小朱和小李离婚时，小朱因工作常出差，难以照顾孩子，便放弃直接抚养权由小李抚养。后小李患病丧失抚养能力，小朱却不愿变更抚养权回来抚养孩子，且对抚养费支付数额存在争议。

案情分析:

1、小朱放弃抚养权是基于自身工作原因，在当时双方协商一致的情况下，此选择合法有效。但当出现法定变更情形，如小李丧失抚养能力时，小朱应承担起抚养责任。
2、关于抚养费，小朱虽放弃直接抚养权，但支付抚养费是其法定义务，数额应综合孩子实际生活需要、双方负担能力及当地生活水平来确定。