在法律层面，父母对于未成年子女承担着抚养、教育以及保护的法定义务，这一义务具有强制性，是绝不能随意放弃的。
一旦出现父母双方都不愿抚养孩子这种令人担忧的情况，可参照以下方式妥善处理：
1.调解协商：
当出现这种情况时，相关部门或组织，它们会与父母双方深入沟通，详细了解双方的想法和实际困难，引导双方从孩子的长远利益出发，协商确定由一方直接抚养孩子，另一方则需按照规定支付抚养费，为孩子的成长提供经济支持。
2.法院裁判：
若经过多次调解，双方仍无法达成一致意见，那么相关人员，法院在进行裁决时，会秉持最有利于未成年子女的原则，全面、细致地综合考虑诸多因素。
其中包括双方的经济状况，如收入水平、财产状况等；抚养能力，
3.临时安置：
在抚养权最终确定之前，为了保障孩子的基本生活和合法权益不受影响，可由儿童福利机构等专业机构临时照顾孩子，为孩子提供安全、稳定的生活环境。

案情回顾:

小朱和小李是一对夫妻，育有一未成年子女小静。后两人感情破裂欲离婚，却都不愿抚养小静，引发争议。居委会介入调解无果，亲属向法院起诉，期间小静由儿童福利机构临时照顾，最终法院判定了抚养权归属。

案情分析:

1、小朱和小李作为父母，对未成年子女小静有法定抚养义务，不能随意放弃，其不愿抚养的行为违反法律规定。
2、居委会调解协商体现了相关部门积极介入解决问题，但双方未达成一致。
3、亲属起诉后，法院秉持最有利于未成年子女原则，综合经济状况、抚养能力等因素判定抚养权归属，保障了小静权益。
4、临时安置措施确保在抚养权确定前小静基本生活和权益不受影响。