孩子抚养权公证通常需要按以下步骤有序进行：
一、确定公证机构
选择合适的公证机构是关键。
一般来说，可以向当事人住所地、经常居住地、行为地或者事实发生地的公证机构提出申请。
在确定时，需要综合考虑公证机构的信誉、办公地点的便利性等因素，以便后续流程能够顺利开展。
二、准备材料
准备充分的材料是公证顺利进行的基础。
通常，需要提供父母双方的身份证件，用以证明双方的身份信息；户口簿能体现家庭成员关系；若父母已经离婚，还需提供离婚协议，明确双方在离婚时关于孩子抚养权等相关事宜的约定；孩子的出生证明则是证明孩子身份及与父母关系的重要凭证。
此外，具体的材料要求可能因地区、公证机构的不同而有所差异，所以最好提前向选定的公证机构咨询确认，避免遗漏重要材料。
三、提出申请
当材料准备齐全后，父母双方（若双方就抚养权协商达成一致意见）或一方（到达后，要认真填写公证申请表，清晰、准确地说明申请公证的事项和目的，确保公证机构了解具体需求。
四、审核与公证
公证机构收到申请和材料后，会对其进行严格审核。
审核无误后，会按照既定的程序进行公证，并出具具有法律效力的公证书。

案情回顾:

小朱和小李离婚后，就孩子抚养权公证产生争议。小朱认为应在A区公证机构办理，因其长期居住于此；小李则认为另一区更便利。在准备材料时，小李觉得离婚协议已明确抚养权，无需再提供孩子出生证明，小朱不同意，后双方前往公证机构申请，等待审核。

案情分析:

1、关于公证机构的选择，按照规定可向当事人住所地等相关地的公证机构申请。小朱长期居住在A区，选择A区公证机构有其合理性，但也应综合考虑便利性等因素，并非绝对。
2、准备材料方面，孩子出生证明是证明孩子身份及与父母关系的重要凭证，不能因离婚协议有约定就省略，所以小朱的观点是正确的。公证机构会据此进行严格审核后公证。