变更抚养权的法律程序主要分为以下两种情况：
一、协议变更
当父母双方均同意变更孩子的抚养权，并且确认变更后对孩子的生活及成长有着积极影响时，便可以选择通过签订变更抚养权协议的方式来完成这一变更流程。
在这份协议中，需要详细且明确地约定各项相关事项。
例如，要清晰写明抚养权正式变更至哪一方；对于探视权，要具体规定探视的时间、频率、地点以及探视方式等，以保障未直接抚养孩子一方与孩子的正常接触和交流；同时，抚养费的支付问题也不容忽视，需明确支付的金额、支付周期以及支付方式等。
协议签订完成后，从法律层面来讲，并不需要经过法院或者其他相关机构的批准便已生效。
不过，为了尽可能避免后续可能出现的各类纠纷，建议双方前往公证机构进行公证，使协议更具公信力和法律效力。
二、诉讼变更
若一方不同意变更抚养权，而另一方认为变更对孩子更为有利时，就可以向法院提起变更抚养权的诉讼。
在起诉时，需要准备并提交起诉状，在起诉状中要清晰阐述变更抚养权的理由和诉求。
同时，还需提供相关证据来支持自己的主张，
法院在接到诉讼后，会根据具体的案件情况，始终秉持着有利于子女身心健康、切实保障子女合法权益的原则，同时综合考虑父母双方的抚养能力和抚养条件等多方面因素，最终作出公正的判决。

案情回顾:

小朱和小李离婚后，孩子归小朱抚养。后小李认为自己条件变好，想变更抚养权，小朱起初不同意，双方产生争议。小李遂收集证据向法院起诉要求变更抚养权，小朱则表示自己能给孩子好的生活拒绝变更。

案情分析:

1、若双方后续协商一致同意变更，可签订协议，明确抚养权归属、探视权及抚养费等事项，虽不经批准即生效，但公证能增强公信力。
2、对于诉讼变更，小李需在起诉状中阐明理由和诉求，并提供证据。法院会依据有利于子女身心健康等原则，综合双方抚养条件作出判决。