如果父亲不履行抚养孩子的责任，可能会带来一系列后果，具体如下：
1.民事责任方面：
-孩子的母亲或者其他合法监护人，有权以孩子的名义向法院提起诉讼，要求父亲支付孩子成长所需的抚养费。
在确定抚养费数额时，法院会综合多方面因素进行考量。
同时，也会审查父亲的收入状况，像其固定工资收入、奖金、投资收益等。
若父亲在法院判决后，仍然拒不支付抚养费，那么在判决生效后，相关人员可依法申请强制执行。
此时，法院有权采取多种措施，例如查询父亲名下的银行存款、房产、车辆等财产信息，冻结其银行账户，甚至直接划拨其账户内的资金，用以支付孩子的抚养费。
2.刑事责任方面：
-倘若父亲具备抚养孩子的能力，却故意拒不抚养，且情节恶劣，这种行为可能会构成遗弃罪。
例如，父亲将孩子遗弃在荒郊野外、无人看管的废弃建筑等危险环境中，致使孩子的生命健康面临严重威胁。
一旦这种行为被认定构成遗弃罪，父亲将面临法律的严厉制裁，可能会被判处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。
抚养孩子是父母应尽的法定义务，父亲必须切实履行，否则必然要承担相应的法律后果。

案情回顾:

小朱和小丽育有一子，离婚后小朱拒绝履行抚养责任，不支付孩子抚养费。小丽以孩子名义起诉，法院判决小朱支付抚养费后，小朱仍拒不支付。此外，小胡听闻后，曾见到小朱将孩子遗弃在废弃建筑。争议点在于小朱行为应承担何种法律后果。

案情分析:

1、民事责任上，小丽起诉要求小朱支付抚养费合理合法。法院确定抚养费数额会综合孩子实际需求及小朱收入状况。小朱拒付后，小丽可申请强制执行，法院有权查询、冻结、划拨小朱财产。
2、刑事责任上，小朱有抚养能力却遗弃孩子于危险环境，若情节恶劣构成遗弃罪，将面临五年以下有期徒刑、拘役或者管制的刑罚。