1.抚养权与抚养费属于两个截然不同的法律概念。
抚养权主要关乎孩子的监护和生活安排等方面，而抚养费则是用于保障孩子日常生活所需的费用。
放弃抚养权，仅仅是在孩子的监护等事宜上做出了特定的安排，但这与支付抚养费的义务并无关联。
2.抚养孩子是父母法定的责任和义务，这是不容置疑的。
无论父母是否放弃抚养权，都应当按照法律规定支付抚养费。
因为孩子的生活和成长需要足够的物质支持，只有依法支付抚养费，才能确保孩子在各方面得到良好的保障。
3.对于公证的问题，通常情况下，是可以对放弃抚养权进行公证的。
然而，这种公证并不能改变支付抚养费的法定义务。
如果一方执意拒绝支付抚养费，那么另一方完全可以通过诉讼等合法途径，向法院提起请求，要求对方履行支付抚养费的义务。
法院会根据具体情况进行审理和判决，以维护孩子的合法权益。
4.法律明确规定，不直接抚养孩子的那一方，有承担支付抚养费的责任。
具体的抚养费数额，会根据当地的生活水平、自身的收入等多种因素来确定。
这样的规定旨在确保孩子在父母离异或其他情况下，都能获得应有的物质保障，能够健康快乐地成长。
总之，绝对不能以放弃抚养权为由而拒绝支付抚养费，父母双方都应当严格依法履行自己的义务，共同为孩子的未来负责。

案情回顾:

小朱和小李育有一女，后两人离婚。小朱放弃了女儿的抚养权，并且进行了公证。小朱认为自己放弃了抚养权就不用支付抚养费，而小李则认为小朱即使放弃抚养权也需支付抚养费，两人产生争议。

案情分析:

1、抚养权与抚养费概念不同，放弃抚养权不代表免除支付抚养费义务。
2、抚养孩子是父母法定责任，小朱作为不直接抚养孩子一方，应支付抚养费。
3、公证放弃抚养权不能改变支付抚养费的法定义务，小李可通过诉讼要求小朱履行。