关于老人私自立遗嘱并公证的有效性问题，在符合法定条件的情况下，这样的遗嘱是有效的。
以下为你详细分析：
一、主体要求
立遗嘱人必须具备完全民事行为能力。
这意味着老人要能够清晰、准确地表达自己内心真实的意愿，同时清楚地知晓立遗嘱这一行为所带来的法律后果。
例如，若老人患有严重的精神疾病，像精神分裂症、老年痴呆症等，这些病症可能会影响到老人的认知能力和正常表意能力。
在这种情况下，老人可能无法正确判断自己的行为以及遗嘱内容的意义，那么其所立的遗嘱就可能被认定为无效。
二、意思表示真实
遗嘱内容必须是老人真实想法的体现，不存在任何受欺诈、胁迫等违背其意愿的情况。
比如，有的子女为了争夺财产，通过威胁、欺骗等手段，强迫老人立下对自己有利但违背老人真实意愿的遗嘱。
一旦发现存在这种强迫行为，该遗嘱就不具有法律效力。
三、公证程序合法
公证遗嘱需要严格按照法定的公证程序来办理。
公证机构在受理遗嘱公证申请时，会对老人的身份信息、是否具备行为能力以及遗嘱的具体内容等多个方面进行细致审查，以确保所有内容都符合法律规定。
若在公证过程中，存在程序上的瑕疵，比如公证人员未核实老人身份或者未询问老人真实意愿等，都可能对遗嘱的效力产生影响。
只要满足上述这些条件，老人私自立的公证遗嘱通常就是有效的。

案情回顾:

小朱的爷爷年事已高且患有老年痴呆，却私自立下遗嘱并进行了公证，将大部分财产留给了一直照顾自己的小胡。小朱认为爷爷立遗嘱时认知不清，该遗嘱应无效，小胡则认为有公证就有效，双方产生争议。

案情分析:

1、从主体要求看，小朱爷爷患老年痴呆可能影响认知和表意能力，若因此不具备完全民事行为能力，所立遗嘱可能无效。
2、关于意思表示真实方面，需确认小胡有无通过欺诈、胁迫等手段使老人立此遗嘱，若存在此类情况，遗嘱则不具有法律效力。
3、针对公证程序合法问题，若公证过程存在程序瑕疵，比如未核实老人真实状况，也可能影响遗嘱效力。