当老人不幸病逝后，其遗产的继承会依照特定规则有序进行，具体情况如下：
1.遗嘱继承：
若老人在生前留有合法且有效的遗嘱，那么遗产的分配将严格按照遗嘱的内容来执行。
这份遗嘱就像是老人对自己财产的最后安排，指定的继承人将依据遗嘱获得相应份额的遗产。
2.遗赠：
老人还可以选择通过遗赠的方式处置个人财产。
他可以将财产赠给国家、集体或者法定继承人以外的其他人。
3.法定继承：
在没有遗嘱或者遗赠的情况下，遗产将按照法定继承的方式办理。
法定继承人有明确的范围和顺序：
第一顺序：配偶、子女、父母。
在继承开始后，首先由第一顺序继承人继承遗产，第二顺序继承人此时不参与继承。
第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。
只有在没有第一顺序继承人继承的情况下，才由第二顺序继承人继承。
同一顺序继承人继承遗产的份额，一般应当均等，但在某些特殊情况下，
案情回顾:

小朱的老人病逝后，留下一套房产和部分存款。老人曾立遗嘱将房产留给悉心照料自己的小胡，但未提及存款分配。对于存款部分，小朱认为应按法定继承分配，小胡则主张应参照遗嘱房产分配原则，自己多得。争议焦点在于存款分配方式。

案情分析:

1、关于房产，老人留有合法有效遗嘱指定由小胡继承，根据遗嘱继承规则，小胡有权获得房产，这部分应按遗嘱执行。
2、对于存款，由于遗嘱未作安排，应按照法定继承办理。同一顺序继承人一般应均等分配，但对老人尽主要赡养义务的小胡，可在分配存款时适当多分。