当房产的第一顺位继承人决定放弃继承权时，可按如下方式进行妥善处理：
一、明确放弃方式
在继承程序启动，也就是被继承人死亡后，且在遗产尚未实际处理分配之前，第一顺位继承人若要放弃继承房产，应当以书面形式清晰、明确地作出放弃继承的表示。
若在此期间，继承人没有作出任何表示，那么在法律上就会视为其接受继承。
二、了解放弃后果
当第一顺位继承人放弃继承权后，其原本应继承的房产份额会按照法定继承顺序，转由其他顺位的继承人继承。
例如，第二顺位继承人会按照法律规定承接相应份额。
若不存在其他法定继承人，或者其他法定继承人同样放弃继承，在这种情况下，该房产可能就会被认定为无主财产，进而收归国家或集体所有。
三、办理相关手续
一般来说，需要前往公证处办理放弃继承权公证。
办理时，要准备好相关材料，包括能够证明自身身份的身份证等证件、体现亲属关系的证明材料，如户口本等，以及房产的证明文件，像房产证等。
完成公证后，其他继承人就可以凭借相关的公证书以及其他必要材料，前往房产管理部门办理房产过户等手续。

案情回顾:

小朱去世后，其房产面临继承问题。作为第一顺位继承人的小李，起初想放弃继承权，但未明确表态。后来又书面声明放弃，引发争议：未及时书面放弃期间是否算接受继承，放弃后房产份额该如何处置及后续手续如何办理。

案情分析:

1、根据规定，在继承程序启动且遗产未分配前，应书面表示放弃继承，小李起初未明确表态，依法应视为接受继承。
2、小李书面放弃后，其份额应按法定顺序转由其他顺位继承人继承，若不存在其他继承人或均放弃，则房产可能收归国家或集体所有。
3、小李应前往公证处办理放弃继承权公证，准备好相关材料，完成公证后，其他继承人凭公证书等前往房产管理部门办理过户手续。