在相互打斗冲突的场景中，率先采取行动的那一方的法律责任判断绝非只是依循其出击的先行顺序。
实际上，我们需要全面深入地考虑到在场各方面的因素，如双方各自的过失程度、所导致的伤害结果、冲突的起源以及具体的情节经过等等。
倘若在这场冲突中，有人受到了轻伤甚至更为严重的伤害，那么这就有可能触犯了刑法中的故意伤害罪。
然而，率先采取行动的一方并不能因此而被认定为必须承担更为严重的法律责任，除非在后续的打斗过程中，后出手的一方出现了明显的过错升级行为，否则他们也有可能分担或者承担主要的法律责任。
在行政处罚层面上，公安机关将会根据实际情况，对双方的违法行为进行详细的评估与惩处。
通常而言，尽管率先采取行动的一方确实存在过错，但是如果后出手的一方的反击行为超过了必要的限度，那么他们同样需要承担相应的法律责任。
总的来说，对于法律责任的判断，我们需要根据具体的情境进行深入细致的分析，并且始终以事实和证据作为唯一的依据。