对于申请监外执行的刑事案件，其审理流程一般包括以下几个环节：首先，被判有罪的被告人或者其亲属应当向执行机构提交书面申请，同时还需提供相应的病情诊断报告、鉴定结论等证明文件。
执行机构会对该申请进行初次审查，若经审查认为该申请人符合监外执行的条件，便会将相关材料上报至监狱管理机关或者公安机关的法制部门进行进一步的审核。
待审核通过之后，再将这些材料转交至检察院进行审查。
经过检察院的严格审查并同意后，最终由法院作出裁决。
值得注意的是，监外执行必须满足法律规定的特定条件，例如患有严重疾病需要保外就医等情况。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百六十五条
【监外执行】对被判处有期徒刑或者拘役的罪犯，有下列情形之一的，可以暂予监外执行：
（一）有严重疾病需要保外就医的；
（三）生活不能自理，适用暂予监外执行不致危害社会的。
对被判处无期徒刑的罪犯，有前款第二项规定情形的，可以暂予监外执行。
对适用保外就医可能有社会危险性的罪犯，或者自伤自残的罪犯，不得保外就医。
对罪犯确有严重疾病，必须保外就医的，由省级人民政府指定的医院诊断并开具证明文件。
在交付执行前，暂予监外执行由交付执行的人民法院决定；在交付执行后，暂予监外执行由监狱或者看守所提出书面意见，报省级以上监狱管理机关或者设区的市一级以上公安机关批准。