在遭受不实指控且缺少充分证据支撑的情况下，根据我国相关法律规定，公安机关无权启动案件调查程序并进行立案侦查。
然而，若当事人依旧希望对相关责任人追究其刑事法律责任的话，那么他们有权利通过向法院提起刑事自诉的方式，追求诬告者所犯下的诬告陷害罪名成立。
而所谓的诬告陷害罪，简单而言便是行为人为达目的，编造虚假犯罪事实，向国家司法机关或者其他具有公权力性质的机构进行虚假告发，意图导致他人陷入刑事追责困境，情节严重者将面临相应的刑事处罚。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第五十六条
可以用于证明案件事实的材料，都是证据。
证据包括：
(一)物证；
(二)书证；
(三)证人证言；
(四)被害人陈述；
(五)犯罪嫌疑人供述和辩解；
(六)鉴定意见；
(七)勘验、检查、侦查实验、搜查、查封、扣押、提取、辨认等笔录；
(八)视听资料、电子数据。
证据必须经过查证属实，才能作为认定案件事实的根据。