依据《中华人民共和国刑法》第二百六十四条以及《最高人民法院、最高人民检察院关于办理妨害信用卡管理刑事案件具体应用法律若干问题的解释》第五条的明文规定，若一名自然人实施了未经授权便擅自使用他人银行卡中存款价值高达人民币1200元的犯罪行为，这种行为将被认定为盗窃罪行。
基于以上法律条文的规范，对于实施盗窃公共或私人财产的罪犯，如果其所涉及的金额达到一定标准（即“数额较大”），则可依法判处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，同时附加或者单独进行罚金的处罚。
然而，在实际审判过程中，具体的量刑结果还需综合考虑到案件的诸多细节因素，如犯罪者的作案动机、手法、是否存在前科等。
鉴于此次被盗刷的金额为人民币1200元，根据《最高人民法院、最高人民检察院关于办理妨害信用卡管理刑事案件具体应用法律若干问题的解释》第五条的明确规定，该金额已达到了“数额较大”的标准。

《中华人民共和国刑法》第二百六十四条
盗窃公私财物，数额较大的，或者多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；
数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；
数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产。