在中国的法律体系中，当一名罪犯因触犯法律而被判处刑事处罚并需要承担罚款或者没收财产的责任时，如若他的财产无法完全清偿所负的全部债务（其中也包含了潜在的民事赔偿），按照《中华人民共和国刑法》第三十六条的明确规定，应首先使用其合法财产来解决对于受害者的民事赔偿义务。
这就意味着，倘若这位被定罪的人士持有已被依法冻结的银行卡，法院及执行机构将会审慎评估这些资产是否足以履行其民事赔偿责任，若发现尚有不足之处，便有可能将该银行卡中的部分或全部资金用于弥补受害者的经济损失。
然而，具体的执行方式还需依据实际情况与当地法律程序进行综合考量，涉及到的因素包括但不仅限于犯罪嫌疑人的财务状况、银行卡内的资金总额以及是否存在其他可供执行的财产等等。

《中华人民共和国刑法》第三十六条
由于犯罪行为而使被害人遭受经济损失的，对犯罪分子除依法给予刑事处罚外，并应根据情况判处赔偿经济损失。
承担民事赔偿责任的犯罪分子，同时被判处罚金，其财产不足以全部支付的，或者被判处没收财产的，应当先承担对被害人的民事赔偿责任。