在犯罪嫌疑人被刑事拘留的第37日内，律师所承担的核心工作事项如下：
首先，律师需要尽快地安排面谈会见犯罪嫌疑人，以深入了解案件的基础事实以及发展动态，并向其传输必要的法律知识及心理关怀，以求为他提供全面且有力的支持与援助。
其次，律师将代表犯罪嫌疑方向负责侦查活动的机关进行信息咨询，了解犯罪嫌疑人员被指控的具体罪名及相关案件详情，以便在此基础上提出突出的法律分析意见。
如若律师发现案件证据链条的构建存在缺陷或立案标准的判定不当之处，他们应尽早地提出异议并采取相应行动。
此外，律师可以依据自己掌握的具体信息，为犯罪嫌疑人进行申请书的起草及提交，以期获取以取保候审形式陪伴在家人身旁的机会，同时也努力寻求从现有强制措施转化为其他更为宽松措施的可能性。
最后，律师会积极主动地搜集所有可能有利于犯罪嫌疑人的证据线索，以加强辩护力度，与承办案件的主管部门进行充分有效的沟通与交流，全方位地保护每一位犯罪嫌疑人的正当合法权益不受损害。
总的来说，这37日的时间节点对整个案件走势产生着举足轻重的影响，而律师的职责便是尽己所能，全力保障当事人的权益最大化。