在被拘押的第三十七个自然日内，通常会出现两种可能的处置方式。
首先，如果公安机关认定其所掌握的犯罪证据已经充足，他们将会向检察机关提出逮捕请求申请。
相应地，检察机关经过严格的审查之后，若发现相关证据证实了犯罪行为且符合逮捕的法定条件，则检察机关将会依法作出批捕的决定，该案也将随之进入下一阶段的侦查工作。
相反，如果检察机关经审查后认为证据尚不充足，或许无法证明犯罪事实存在；
或者即使证实了犯罪行为的存在，但由于逮捕并非必要等原因，公安机关便应该调整现行的强制措施，例如变更为取保候审或者监视居住措施。
若是经过调查，公安机关最终认定当事人并不构成犯罪，或者不应当对其追究刑事责任，那么他们就会销毁所有与本案相关的材料并撤销案件。
总而言之，在被拘押满三十七日之后，案件的最终处理结果将取决于案件的证据以及具体的实际情况。