关于刑事诉讼程序中的相关流程问题，在犯罪嫌疑人遭受为期十天的拘留之后，接下来可能会面临下列几个环节：
首先，若公安部门经过深入调查和分析，认为有必要对该名犯罪嫌疑人实施逮捕，那么他们将会在拘留期限结束前的三个工作日内，向人民检察院提交申请，请求其进行审查并批准逮捕。
然而，在某些特定情况下，例如涉及到流窜作案、多次作案以及结伙作案等重大犯罪行为的嫌疑人，公安机关向人民检察院提出审查批准的时间则可相应地延长一日至四日。
其次，人民检察院在收到公安机关递交的提请批准逮捕书后，应在七个工作日之内，做出是否批准逮捕的决定。
若检察院未能批准逮捕，公安机关必须在接到通知后立即释放犯罪嫌疑人，同时将执行情况及时告知检察院。
最后，如果检察院批准了逮捕，那么案件将进入进一步的侦查阶段，待侦查工作全部完成后，再将案件移交至检察院进行审查起诉。