根据中国相关法律法规要求，公安机关对犯罪嫌疑人采取刑事拘留措施的最长期限为37天。
就具体实践而言，如在刑事拘留期间，公安机关认为有必要将犯罪嫌疑人提请检察机关进行逮捕审查的，必须在拘留之日起的第三个工作日内发起申请，并等待检察机关在七个工作日内做出是否批准逮捕的决定。
然而，在某些特定情况下，例如涉及流窜作案、多次作案或团伙作案等重大案件的犯罪嫌疑人，其提请审查批准的时间可适当延长，最长可达30天。
值得注意的是，上述规定仅适用于公安机关向检察机关提出的逮捕申请，而非其他类型的司法程序。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百五十六条
【一般侦查羁押期限】对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限不得超过二个月。案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长一个月。