在刑事诉讼流程中，待到拘留期限满了第三十七日之时，会有多种可能性展现在我们面前。
首先，若公安执法机构认可犯罪嫌疑人实施犯罪行为的证据确凿充分，且认定犯罪事实脉络清晰判断无误，那么他们将会依法向最高人民检察院提出申请，请求批准逮捕该名犯罪嫌疑人。
而最高人民检察院在经过严谨的审查之后，如若认为该犯罪嫌疑人符合逮捕的法定条件，便会依法作出批准逮捕的决定，从而使得此案得以继续进行深入的调查与审理工作。
反之，倘若最高人民检察院认为该犯罪嫌疑人并不符合逮捕的法定条件，那么公安执法机构将不得不对其采取其他强制性措施，例如变更为取保候审或监视居住等方式。
除此之外，如果在拘留期限满了第三十七日之前，公安执法机构通过侦查发现该犯罪嫌疑人并无任何应当追究其刑事责任的事实依据，那么他们也必须依法撤销此案，并释放该名犯罪嫌疑人。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。