在道路交通事故中涉嫌逃逸并指使他人冒名顶替者，有可能触犯我国《刑法》所规定的包庇罪。
通常情况下，当公安机关对被拘留的人员进行审讯完毕，若认定其需要采取强制措施如逮捕时，应在拘留期限届满之后的三日内提交申请书，申请由当地人民检察院进行审批。
然而，在某些特定情况下，公安机关可以申请延长期限，将此期限延长至四日。
而针对惯犯或者犯罪团伙中的重要嫌疑人，可以申请将审批期限进一步延长至三十天。
关于审理此类案件，当地人民检察院应对公安机关提交的提前逮捕申请进行审查，并需在收到申请的七日内做出批准逮捕或不予批准逮捕等裁决。
因此，从被拘留之日起至最终获得批准逮捕，整个过程最长可达37天。

《中华人民共和国刑法》第三百一十条
【窝藏、包庇罪】明知是犯罪的人而为其提供隐藏处所、财物，帮助其逃匿或者作假证明包庇的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；情节严重的，处三年以上十年以下有期徒刑。
犯前款罪，事前通谋的，以共同犯罪论处。