针对刑事拘留期已满并达到了第37个自然日这一情形，接下来可能出现以下几种进一步的发展形势：首先是检察院作出批准逮捕的决定；
考虑到犯罪嫌疑人所涉嫌的犯罪事实已经清晰明了，且证据扎实可靠，足以证明其法律责任的存在，以此为依据，检察院应依法批准对该罪名进行严肃处理之逮捕，而案件的调查、审理亦将相继展开。
其次，若检察院审查并决定不予批准逮捕，可能源于其认为提供给公安机关的证据尚不够充实，或许犯罪情节较为轻微，无需再进行严肃处理等因素，此时公安机关必须在收到相关通知后，立即将有关的犯罪嫌疑人士予以释放，同时将具体执行状况及时通报至检察院。
最后，如果这宗案件依然有待进一步调查，且符合取保候审或监视居住的规定，公安机关须按相关法律法规，将相关人员转为此类保护措施，以保障当事人的合法权益不受侵害。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。