在刑事诉讼过程中，当嫌疑人因涉嫌犯罪而遭刑事拘留时，接下来通常会遵循以下的法律步骤：
首先，若公安机关经过深入调查及分析，认为该嫌疑人需要以正式逮捕方式处理，他们通常应在拘留期内的第三天起算，向当地人民检察院提交审查批准申请。
然而，在某些特殊情况下，例如涉及到流窜作案、多次作案或结伙作案等复杂案件，公安机关可将提请审查批准的期限适当延长，最多可延长至第四天；
如果嫌疑人属于重大嫌疑分子群体，那么公安机关最长可推迟至第30天才需提交审批。
接下来，人民检察院须在接到公安机关提请批准逮捕书之后的7日内，根据相关法律法规和证据材料，做出是否批准逮捕的决策。
如遇到人民检察院拒绝批准逮捕的情况，公安机关则需在收到通知后立即释放嫌疑人，并将执行情况及时告知人民检察院。
最后，如果需要进一步进行侦查工作，且嫌疑人符合取保候审或监视居住的条件，公安机关有权依法采取相应措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。