依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十九条明文规定，倘若犯罪嫌疑人、被告人所受到的强制性司法措施的法定时限已届满，那么人民法院、人民检察院或是公安部门有责任依法将其释放、解除已经实施的取保候审、监视居住等手段或者是依法对这类强制措施进行变更。
所以针对寻衅滋事案件中的嫌疑人和被告人，若刑事拘留的期限已经达到上限，这三个机关需依照实际情况来决定是否释放相关人员或者是变更现有的强制措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十九条
人民法院、人民检察院或者公安机关对被采取强制措施法定期限届满的犯罪嫌疑人、被告人，应当予以释放、解除取保候审、监视居住或者依法变更强制措施。犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者辩护人对于人民法院、人民检察院或者公安机关采取强制措施法定期限届满的，有权要求解除强制措施。