依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十五条之明文规定，公安部门在对涉案人员采取拘留行动时，必须向其出具严格规范的拘留证明书，且必须在接到拘留令后的最短时间内，将被拘留者安全地交给看守所进行看管。
此项法律条款并未详细说明拘留15个自然日后，是否有权将所处拘留状态向上提升为更为严重的刑事拘留处置方式。
然而，根据国家刑事诉讼程序的一般性原则，拘留期间应严格控制在相应法律所规定的时效范围之内，若超过了这个合法的期限，则必须有正当、合理的法律手续以及充足的理由作为支撑。
倘若被拘留者在拘留15个自然日后，符合了刑事拘留的相关条件，如涉嫌实施犯罪行为需进一步深入调查取证等，那么公安部门便可依法提出申请，请求延长拘留期限或将原有的拘留状态升级为刑事拘留。
因此，拘留15个自然日后能否升级为刑事拘留，这需要结合实际情况以及相关法律法规的具体规定来进行全面、细致的分析与评估。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十五条
公安机关拘留人的时候，必须出示拘留证。
拘留后，应当立即将被拘留人送看守所羁押，至迟不得超过二十四小时。除无法通知或者涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪通知可能有碍侦查的情形以外，应当在拘留后二十四小时以内，通知被拘留人的家属。有碍侦查的情形消失以后，应当立即通知被拘留人的家属。