根据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条及第一百七十九条之规定，犯罪嫌疑人被依法刑事拘留37日后，可能会出现以下几种不同的处理结果：首先，人民检察院通过审查证据材料及情节，有足够把握的前提下，会以逮捕作为案件后续处理方式并予继续展开深入调查；
其次，也有可能在经过全面评判之后，人民检察院做出不起诉决定，从而释放刑事拘留中的嫌疑人；
最后一种可能则是人民检察院根据案件实际情况，决定对犯罪嫌疑人采取监视居住或者取保候审措施，以此来等待今后更进一步的相关调查工作进行。
针对公安机关提请人民检察院审查批准逮捕事宜，按照上述法律条款之规定，公安机关在案件拘留期限届满前应及时向人民检察院提交书面申请，并在特殊情况下，该申请的审批时间最长可以延期至30个自然日。
而对于人民检察院在收到公安机关提交的批准逮捕申请书后，其需要在7个工作日内完成审查并做出相应决定。
若人民检察院最终决定不起诉，那么他们需将不起诉决定书送达给公安机关，公安机关对此享有复议权，同时亦有权向上一级人民检察院提出复核请求。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。