依据我国《中华人民共和国治安管理处罚法》之第四十二条的明文规定，遗弃在路边的婴儿以及其父母的行为若触及到相关条款中所提及的“情节较为严重者，将面临五天以上、十天以下的行政拘留，同时还可处以五百元以下的罚款”这一情况时，则可能涉及到此种情况。
至于具体的拘留期限，需视案件的实际情况与司法机构的裁量而定，故无法给出确切的拘留时间。
倘若父母的行为确实符合上述条款中提到的情节较重的情况，那么他们有可能会被处以五天以上、十天以下的行政拘留。

《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条
有下列行为之一的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款；
情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款:
（一）写恐吓信或者以其他方法威胁他人人身安全的；
（二）公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人的；
（三）捏造事实诬告陷害他人，企图使他人受到刑事追究或者受到治安管理处罚的；
（四）对证人及其近亲属进行威胁、侮辱、殴打或者打击报复的；
（五）多次发送淫秽、侮辱、恐吓或者其他信息，干扰他人正常生活的；
（六）偷窥、偷拍、窃听、散布他人隐私的。