依据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条之明确规定，公安部门在接到拘留指令后，倘若认定某位被拘留者需要被逮捕，则应在拘留宣告的期限之后的三日内启动相关程序，向人民检察院提交审查和批准请求。
在特定情形之下（例如恶劣天气等影响侦查工作顺利开展的因素），向人民检察院提出审查和批准请求的天数可以适当延长，最长可达四个工作日。
然而，对于那些流窜作案、多次作案以及结伙作案的重大嫌疑人而言，向人民检察院提出审查和批准请求的天数则可以进一步延长至三十日。
因此，若公安部门在刑事拘留31天后才正式向人民检察院提交审查和批准请求，那么这种行为无疑是违反法律规定的。
按照相关规定，公安部门应当在拘留宣告的期限之后的三日内，或者在特定情形之下，向人民检察院提出审查和批准请求的天数可以适当延长，但最长不得超过四个工作日。
而对于那些在特定情形之下需要延长至三十日的情况，同样必须满足是流窜作案、多次作案以及结伙作案的重大嫌疑人这一条件。
因此，如果公安部门在刑事拘留31天后才正式向人民检察院提交审查和批准请求，显然已经超越了法定的提请审查和批准请求的时间限制，构成了违法操作。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。